Ćuk je rođen 19. ožujka 1936. godine u Donjoj Stubici, a za vrijeme streljačke karijere nastupao je za klubove Zagreb 1786 i Dub iz Haludova.

Nastupio je na Olimpijskim igrama 1960. godine u Rimu, gdje je u disciplini puška 300 metara 3x40, osvojio 23. mjesto, dok je u malokalibarskoj pušci 50 metara - 60 hitaca ležeći ispao u prednatjecanju.

Na Svjetskom prvenstvu u streljaštvu u Caracasu u Venezueli 1954., bio je član ekipe koja je osvojila srebrnu medalju u pušci na 300 metara. Pored Ćuka u ekipi su još bili hrvatski strijelci i olimpijci Zlatko Mašek i Stjepan Prauhardt.

Ćuk je na Mediteranskim igrama 1959. u Bejrutu osvojio tri medalje i to zlatne u malokalibarskoj pušci 50 metara 60 hitaca ležeći te u malokalibarskoj pušci 50 metara 3x40 hitaca pojedinačno, dok je isto u malom kalibru u pušci 50 metara ekipno osvojio brončanu medalju.

Najdublji trag u streljačkom sportu Ćuk je ostavio u Športsko streljačkom klubu Dub iz Malinske kojem je bio jedan od osnivača.

Po završetku natjecateljske karijere ostao je u streljačkom sportu kao trener i istaknuti streljački djelatnik obnašajući razne dužnosti u Hrvatskom streljačkom savezu, a bio je i na čelu streljačke reprezentacije na Olimpijskim igrama u Barceloni 1992. godine gdje su naši sportaši prvi put nastupali pod hrvatskom zastavom.

Za cjelokupni rad i doprinos streljačkom sportu u Hrvatskoj Josipu Ćuku dodijeljena je 2010. godine Državna nagrada 'Franjo Bučar'.

Posljednji ispraćaj Josipa Ćuka biti će u ponedjeljak, 29. travnja u 16 sati, na zagrebačkom krematoriju.