Bogišić je rođen u selu Dubravka kraj Dubrovnika 2. ožujka 1925. Studijsku skupinu narodni jezik i književnost te talijanski jezik završio je 1952., a zatim je bio asistent u Historijskom institutu JAZU u Dubrovniku. Godine 1957. postao je asistent na Odsjeku za jugoslavenske jezike i književnosti Filozofskog fakulteta u Zagrebu, a 1977. redoviti profesor i voditelj Katedre za stariju hrvatsku književnost.

Bio je članom Društva hrvatskih književnika, a 1991. i redoviti član HAZU. Godine 2005. dobio je Državnu nagradu za životno djelo iz područja humanističkih znanosti.

Objavio je više od 130 znanstvenih radova i rasprava te stotinjak stručnih i popularno-stručnih tekstova u tisku.

Bavio se pitanjima ranovjekovne hrvatske književne kulture, a velik broj studija posvetio je hrvatskom petrarkizmu i hrvatskim renesansnim književnicima.

Objavio je više knjiga među kojima i knjige "O hrvatskim starim pjesnicima", "Tragovima starih" "Hrvatska pastorala", a za biblioteku "Pet stoljeća hrvatske književnosti" uredio je tri hrestomatije - "Zbornik stihova XV. i XVI. stoljeća", "Zbornik stihova XVII. stoljeća" i "Zbornik stihova i proze XVIII. stoljeća".

Posljednji ispraćaj akademika Rafe Bogišića bit će u Zagrebu.